Доска гальтона своими руками

Доска Гальтона представляет собой ящик, на задней стенке которого укреплены две наклонные планки, образующие воронку; в середине — несколько рядов вбитых в стенку и расположенных в шахматном порядке гвоздей; внизу — система одинаковых вертикальных ячеек (рис. 1.1). Передняя стенка ящика стеклянная.

Рис. 1.1

Пронумеруем ячейки 1, 2. . Возьмем горошину, бросим ее в воронку и проследим за ее движением. Горошина, претерпев ряд столкновений с гвоздями, попадет в какую-нибудь, например, i-тую ячейку. Достанем горошину из ящика и вновь бросим ее в воронку. И теперь горошина после ряда столкновений с гвоздями попадет в какую-нибудь ячейку. Но в общем случае эта ячейка будет уже другой. Совершим так N бросаний горошины, каждый раз отмечая, в какую ячейку она попадет. Пусть n₁ — число попаданий в первую ячейку, n₂ — во вторую и т.д., n_i — в i-тую, n_k — в k-тую. Число N называют числом испытаний, а число — числом положительных исходов. Отношение — частота положительных исходов для i-той ячейки.

Если N — велико (в идеале бесконечно большое), то — вероятность положительного исхода, т.е. вероятность того, что горошина после столкновений с гвоздями попадет в i-тую ячейку.

Во всех этих рассуждениях очень важно отметить следующее:

Столкновения горошины с гвоздями — это случайные (непредсказуемые) процессы. Мы никогда не знаем, с какими гвоздями, с каким количеством гвоздей и каким образом столкнется горошина.
Так как столкновения случайны, то мы никогда не знаем, где и с какой скоростью горошина покинет слой гвоздей и, как следствие, в какую ячейку попадет.

Траектория горошины, число столкновений, конечная скорость (после последнего столкновения), ячейка, в которую попадает горошина — все это игра случая, пока число бросков (испытаний) невелико. Хотя движение горошины подчиняется законам механики Галилея-Ньютона, мы не можем знать конечного результата. Другое дело, когда число испытаний (бросаний) огромно. Траектория и число столкновений горошины также непредсказуемы, но конечную скорость и число попаданий в i-тую ячейку мы можем рассчитать с некоторой вероятностью. Построим гистограмму частот положительных исходов и проведем огибающую. В случае, когда , каждый из столбиков гистограммы соответствует вероятности положительного исхода, тогда .

Но P_i — это площадь i-того столбика на гистограмме и — площадь под огибающей кривой (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Огибающая кривая показывает, как распределены вероятности по номерам ячеек. Математическая функция, которой соответствует эта кривая, называется статистической функцией распределения вероятностей. В нашем конкретном случае такое статистическое распределение называют нормальным, а функцию называют функцией Гаусса. Ее аналитическое выражение имеет вид:

Изменим характер опыта. Возьмем N одинаковых горошин и каждую из них бросим в воронку один раз. Мы вправе ожидать уже полученного результата. Почему? Горошины совершенно одинаковы! Следовательно, и результат будет прежний.

Изменим еще раз характер опыта. Возьмем N одинаковых горошин и высыпем их все разом в воронку. Что изменится в движении горошин? Изменится число столкновений, т.к. теперь горошины сталкиваются не только с гвоздями, но и друг с другом. Но в конечном случае все горошины распределяются по ячейкам. Обозначим — число горошин в i-той ячейке, тогда — вероятность того, что горошина попадет в i-тую ячейку. Обращая внимание на то, что кривая распределения вероятностей имеет такой же характер, как и в двух предыдущих опытах, приходим к выводу:

т.е. наша система из N горошин подчиняется статистическому закону распределения. Окончательный вывод: система из N элементов с внутренними случайными процессами подчиняется законам статистики. Такие системы называются статистическими системами.

Обсуждение вопроса о том, как распределены молекулы по компонентам скорости

В начале своего падения горошина не имела скорости. Вертикальную составляющую скорости в конце падения она приобрела за счет силы притяжения Земли, а горизонтальную составляющую — только за счет случайных столкновений. При этом разные горошины имеют разные значения этой горизонтальной составляющей скорости, так как попадают в разные ячейки. Следовательно, полученное в опыте распределение горошин по ячейкам можно трактовать как статистический закон распределения молекул по компонентам скорости.

Распределение молекул по компонентам скорости имеет вид (например, по ):

Источник

Доска гальтона своими руками

Как обычно гуглил по теме (делаю это периодически, вдруг чего нового нагуглица), и нашёл одно видео (ниже будет), а с него вышел на сайт, а с сайта вышел на замечательную галерею конструкций досок Гальтона (заинтересовавшимся рекомендую после прочтения поста пройтись по ссылкам). Итак, машины:

Эх, было бы у меня такое финансирование, как при создании такой машины, то я бы создал множество таких и ещё лучше и интереснее машин!

Следующая машина ахренительна тем, что имеет в своём составе счётчик падающих шариков, что весьма показательно для оценки флуктуаций.

Ну и ещё несколько девайсов:

Остальное можно поглядеть у них в альбоме.

Ну и собственно говоря завораживающее видео работы этой чудесной машины.

З.Ы. По ссылке, которую я уже давал выше есть ещё несколько интересных видео их работы.

Все ли видели волшебное видео о том, как каждый цвет имеет свою частоту и сталкиваясь с кристаллами кварца каждый цвет попадает только в свою ячейку?

Это видео конечно же фэйк – все шары в видео изначально белые, им назначен цвет уже в компьютерной обработке в зависимости от того в какой ячейке они были в конце.

Но вот само использованное устройство довольно примечательно. Это вариация доски Гальтона, и в нем кроется настоящая магия.

Galton box, также распространены названия квинкункс, quincunx и bean machine) — устройство, изобретённое английским учёным Фрэнсисом Гальтоном (первый экземпляр изготовлен в 1873 году, затем устройство было описано Гальтоном в книге Natural inheritance, изданной в 1889 году) и предназначающееся для демонстрации центральной предельной теоремы, нормального (гауссова) распределения.

В идеальном случае сталкиваясь со штырьком, шарик каждый раз с одинаковой вероятностью может повернуть либо направо, либо налево. Нижняя часть ящика разделена перегородками (число которых равно числу штырьков в нижнем ряду), в результате чего шарики, скатываясь на дно ящика, образуют столбики, которые тем выше, чем ближе к середине доски (при достаточно большом числе шариков внешний вид столбиков приближается к кривой нормального распределения).

Если нарисовать на задней стенке треугольник Паскаля, то можно увидеть, сколькими путями можно добраться до каждого из штырьков (чем ближе штырёк к центру, тем больше число путей).

В некоторых настольных играх, а также игровом автомате Патинко, используется доска Гальтона или схожие с ней устройства.

Доска́ Га́льтона (англ. Galton board , также распространены названия квинкункс, quincunx и bean machine) — устройство, изобретённое английским учёным Фрэнсисом Гальтоном (первый экземпляр изготовлен в 1873 году [1] , затем устройство было описано Гальтоном в книге Natural inheritance, изданной в 1889 году) и предназначающееся для демонстрации центральной предельной теоремы.

Устройство

Доска Гальтона представляет собой ящик с прозрачной передней стенкой. В заднюю стенку в шахматном порядке вбиты штырьки, образующие треугольник. Сверху в ящик через воронку (выход из которой расположен ровно посередине между левой и правой стенками) кидаются шарики. В идеальном случае сталкиваясь со штырьком, шарик каждый раз с одинаковой вероятностью может повернуть либо направо, либо налево. Нижняя часть ящика разделена перегородками (число которых равно числу штырьков в нижнем ряду), в результате чего шарики, скатываясь на дно ящика, образуют столбики, которые тем выше, чем ближе к середине доски (при достаточно большом числе шариков внешний вид столбиков приближается к кривой нормального распределения).

Распределение шариков

Обозначим как n общее число столкновений шарика со штырьками; как k число раз, когда шарик поворачивает направо (таким образом, он оказывается в k-м по порядку столбике). Тогда число способов, которыми он может добраться до k-го столбика, определяется биномиальным коэффициентом ( n k ) > . Отсюда следует, что вероятность оказаться в k-м столбике равна ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k p^ (1-p)^> , где p — вероятность поворота направо (обычно можно считать, что p = 0 , 5 ). Это функция вероятности биномиального распределения, которое в соответствии с центральной предельной теоремой при достаточно большом n аппроксимирует нормальное распределение.

Примечания

Ссылки

Видео, демонстрирующее работу устройства (англ.)
Симуляция (англ.)
Симуляция на сайте университета Джона Кэррола (англ.)
Quincunx and its relationship to normal distribution (англ.)
Анимации (англ.)
Доска Гальтона (рус.)

Вероя́тность — степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события. Когда основания для того, чтобы какое-нибудь возможное событие произошло в действительности, перевешивают противоположные основания, то это событие называют вероятным, в противном случае — маловероятным или невероятным. Перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может быть в различной степени, вследствие чего вероятность (и невероятность) бывает большей либо меньшей. Поэтому часто вероятность оценивается на качественном уровне, особенно в тех случаях, когда более или менее точная количественная оценка невозможна или крайне затруднительна. Возможны различные градации «уровней» вероятности.

Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину — теорию вероятностей. В теории вероятностей и математической статистике понятие вероятности формализуется как числовая характеристика события — вероятностная мера (или её значение) — мера на множестве событий (подмножеств множества элементарных событий), принимающая значения от 0 до 1 . Значение 1 соответствует достоверному событию. Невозможное событие имеет вероятность 0 (обратное вообще говоря не всегда верно). Если вероятность наступления события равна p , то вероятность его ненаступления равна 1 − p . В частности, вероятность 1 / 2 означает равную вероятность наступления и ненаступления события.

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности исходов. В качестве вероятности выступает отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему числу равновозможных исходов. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при случайном подбрасывании монетки равна 1/2, если предполагается, что только эти две возможности имеют место и они являются равновозможными. Данное классическое «определение» вероятности можно обобщить на случай бесконечного количества возможных значений — например, если некоторое событие может произойти с равной вероятностью в любой точке (количество точек бесконечно) некоторой ограниченной области пространства (плоскости), то вероятность того, что оно произойдёт в некоторой части этой допустимой области равна отношению объёма (площади) этой части к объёму (площади) области всех возможных точек.

Эмпирическое «определение» вероятности связано с частотой наступления события исходя из того, что при достаточно большом числе испытаний частота должна стремиться к объективной степени возможности этого события. В современном изложении теории вероятностей вероятность определяется аксиоматически, как частный случай абстрактной теории меры множества. Тем не менее, связующим звеном между абстрактной мерой и вероятностью, выражающей степень возможности наступления события, является именно частота его наблюдения.

Вероятностное описание тех или иных явлений получило широкое распространение в современной науке, в частности в эконометрике, статистической физике макроскопических (термодинамических) систем, где даже в случае классического детерминированного описания движения частиц детерминированное описание всей системы частиц не представляется практически возможным и целесообразным. В квантовой физике сами описываемые процессы имеют вероятностную природу.

Гальтон, Галтон, Голтон (англ. Galton) — имя собственное; распространено в виде фамилий.

Гальтон, Дороти (1901—1992) — британка, подозревавшаяся британскими спецслужбами в шпионстве на русских (однако доказано это никогда не было).

Галтон, Питер (род. 1942) — американский палеонтолог.

Гальтон, Фрэнсис (1822—1911) — английский исследователь, географ, антрополог и психолог; основатель дифференциальной психологии и психометрики, статистик.

Голтон, Лия (род. 1994) — английская футболистка.

Сэр Фрэ́нсис Га́льтон (Го́лтон; англ. Francis Galton; 16 февраля 1822 — 17 января 1911) — английский исследователь, географ, антрополог и психолог; основатель дифференциальной психологии и психометрики, статистик. Родился в Бирмингеме, в Англии.

Дом занимательной науки — музей, открытый 15 октября 1935 года в Ленинграде с целью популяризации научных знаний среди детей и взрослых и закрытый 29 июня 1941 года, с началом Великой Отечественной войны.

Доска — профильная деталь из древесины для покрытия полов.

Иконная доска — традиционная основа под темперную живопись в иконном писании.

Доска — игровое поле в ряде настольных игр.

Доска для игры в нарды

Доска для игры в Сянци

Доска — наименование спортивных снарядов в ряде видов спорта.

Роликовая доска — Скейтборд.

Сноуборд (спортивный инвентарь)

Доска Гальтона — устройство, предназначающееся для демонстрации центральной предельной теоремы.

Доска Уиджи (на авианосце) — специальный двухуровневый стол.

Доска для плавания — приспособление для плавания.

Доска объявлений — место, на котором размещаются объявления.

Электронная доска объявлений

Виртуальная доска объявлений

Доска почёта — в Советском Союзе — стенд с именами и фотографиями передовиков производства.

Гладильная доска — портативный, складной стол с жаропрочной крышкой.

Классная доска — используемая в образовательных учреждениях поверхность.

Аспидная доска — письменная принадлежность в виде пластины из сланца, на которой некогда учились писать.

Доска для рисования маркерами — вид классной доски.

Интерактивная доска — сенсорный экран, работающий как часть системы, в которую также входят компьютер и проектор.

Мемориальная доска — плита, увековечивающая память о знаменитом человеке или событии.

Приборная доска — Вертикальная передняя панель транспортного средства.

Стиральная доска — приспособление для ручной стирки.

Разделочная доска — предмет кухонной утвари, предназначенный для нарезания, реже разрубания продуктов питания.

Чертёжная доска — приспособление для черчения.

Патинко (яп. パチンコ) — игровой автомат, представляющий собой промежуточную форму между денежным игровым автоматом и вертикальным пинболом, необычайно популярен в Японии.

Так как в Японии не разрешены казино, а тотализатор допускается исключительно на лошадиных скачках, велосипедных и лодочных гонках, игра в патинко пользуется большой популярностью: 15 млн японцев регулярно посещают около 16 тыс. залов патинко, и существует около 34 тыс. профессиональных игроков, прибыль некоторых из них достигает 3 тыс. долларов в месяц. Согласно заявлениям некоторых профессиональных игроков, их ежемесячный выигрыш достигает 100 тыс. долларов, но это представляется маловероятным[кому?].

На других языках

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.

Источник