Изготовление модели нониуса и измерение линейных размеров и объёмов тел
Физический практикум. 11-й класс
Цель работы. Изучение работы нониуса и его изготовление. Измерения размеров бруска с помощью нониуса и определение абсолютной и относительных погрешностей измерений.
Оборудование: брусок в форме параллелепипеда; тело цилиндрической формы; лист плотной бумаги; ножницы; масштабная линейка.
Принцип действия нониуса. Представим себе две линейки, сложенные вместе, рис. 1.
Пусть цена деления верхней линейки равна l1, а нижней – l2. Линейки образуют нониус, если существует такое целое число k, при котором
k
l2 =(k+1)l1 (1)
На рис.1 k = 4. Величина
(2)
называется точностью нониуса. В частности, при l1 = 1 мм, k = 10 точность нониуса 
= 0,1 мм. Как видно из рис. 1, при совпадении нулевых делений нижней и верхней шкал совпадают ещё k-е деление нижней и (k+1)-е деление верхней шкал, а также 2k-е деление нижней и 2(k + 1)-е деление верхней шкал и т.д.
Начнём постепенно сдвигать верхнюю линейку вправо. Сначала совпадут первые деления линеек – при сдвиге l2 – l1, равном точности нониуса . При двойном сдвиге совпадут вторые деления линеек и т.д. Если совпали m-е деления, то можно, очевидно, утверждать, что их нулевые деления сдвинуты на m.
Высказанные утверждения справедливы, если сдвиг верхней линейки относительно нижней не превышает одного деления нижней линейки. При сдвиге ровно на одно деление (или на несколько делений) нулевое деление верхней шкалы совпадает уже с первым (или n-м) делением нижней линейки. При дальнейшем сдвиге с делением нижней линейки совпадает 1-е деление верхней и т.д. В технических нониусах (например, в штангенциркуле) нижнюю линейку делают короткой, так что совпадать с верхними может лишь одно из делений этой линейки.
Применим нониус для измерения длины тела А. Как видно из рис. 2,
L=n
l2+m (3)
Здесь n – целое число делений нижней шкалы вдоль измеряемого тела, а m – номер деления верхней линейки (начиная с нулевого), совпадающего с одним из делений нижней шкалы. В качестве m берут номер деления, ближайшего к одному из делений нижней шкалы. Аналогичным образом можно строить не только линейные, но и угловые нониусы. Нониусами снабжаются штангенциркули, теодолиты и многие другие приборы.
Устройство штангенциркуля. Измерять размеры малых деталей с точностью до десятых долей миллиметра можно штангенциркулем (рис. 3).
Основная часть штангенциркуля – линейка с сантиметровыми и миллиметровыми делениями. На ней закреплён зажим, позволяющий измерять внешние и внутренние размеры тел. По линейке скользит рамка, по внутреннему краю которой нанесена шкала – нониус. Десять делений этой шкалы равны 9 мм, таким образом, одно деление составляет 0,9 мм. У некоторых штангенциркулей на рамке имеются 20 делений, соответствующих 19 мм шкалы линейки.
Для определения размера детали её зажимают и находят число целых миллиметров по делению на шкале линейки, ближайшему к 0-му штриху нониуса. Затем смотрят, какой из штрихов шкалы нониуса совпадает со штрихом шкалы на линейке, и получают число десятых долей миллиметра. Размер детали получают сложением числа целых миллиметров, отсчитанных по линейке, и десятых долей миллиметра, определённых по шкале нониуса.
Погрешности измерений, выполненных с помощью нониуса
Граница абсолютной погрешности прямого измерения 
x складывается из приборной погрешностипр и погрешности отсчёта от:
x= пр+от (4)
Обе составляющие погрешности прямого измерения следует учитывать лишь в том случае, если они близки друг к другу. Любым из этих слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит 1/3–1/4 от другого. В этом состоит так называемое правило «ничтожных погрешностей».
В данной работе нониус изготавливается с использованием масштабной линейки, поэтому приборная погрешность такого нониуса (аккуратно сделанного!) будет такая же, как и у линейки:пр = ±1 мм на 30 см длины линейки. То есть на каждый сантиметр изготовленного нониуса «приходится» примерно пр = ±0,03 мм.
Погрешность отсчёта от зависит от цены деления измерительного прибора. Для нониуса она считается по формуле (2).
Знание границ абсолютной погрешности не всегда даёт полное представление о точности выполненных измерений. Показателем качества измерений служит величина, называемая максимальной относительной погрешностью 
(границей относительной погрешности). Это отношение максимальной абсолютной погрешности к значению измеряемой величин xизм:
(5)
Часто эту величину выражают в процентах:
(6)
Погрешности косвенных измерений. Измерения называются косвенными, если результат определяется на основе расчётов. Так определяется объём тела, если уже измерены и известны его линейные размеры. Понятно, что, поскольку измерения длины x, ширины y и высоты z выполнены с определённой погрешностью, то и объём можно определить только с какой-то погрешностью. Максимальная относительная погрешность определения объёма тела V1 в форме параллелепипеда равна
(7)
(8)
После того как вычислена абсолютная погрешность, её значение обычно округляется до одной значащей цифры. После этого и результат измерений записывается с числом десятичных знаков, не большим, чем их имеется в абсолютной погрешности. Например, запись 
= (0,56032 ± 0,028) м/с не совсем удачна. Желательно записать: = 0,03 м/с и = (0,56 ± 0,03) м/с.
Поскольку формула для расчёта объёма тела цилиндрической формы имеет вид:
(9)
где h – высота цилиндра, R – радиус основания, D – диаметр, 
– константа. Максимальная относительная погрешность равна
(10)
а абсолютная погрешность
(11)
Порядок работы
1. Вырежьте из плотной бумаги полосу длиной 20 см и шириной 3 см. Нанесите по краю полосы деления через 1 см.
2. Отрежьте вторую полосу такой же ширины длиной немного больше 9 см. По краю этой полосы, строго от края, нанесите 10 делений через 0,9 см.
3. Рассчитайте точность нониуса по формуле (2).
4. Приложите первую полосу к грани бруска так, чтобы «0» совпал с одним краем. Ко второму краю грани приставьте вторую полосу (рис. 4).
5. Определите длину бруска по формуле (3).
6. Поворачивая брусок на столе, таким же способом измерьте его ширину и высоту.
7. Рассчитайте границы абсолютной (4) и относительной погрешностей прямых измерений (5) линейных размеров бруска, выполненных с помощью изготовленного нониуса.
8. Рассчитайте объём бруска в форме параллелепипеда, а также границы абсолютной, по формуле (8), и относительной, по формуле (7), погрешностей косвенных измерений его объёма.
9. Аналогичным образом измерьте высоту и диаметр цилиндра. Повторите п. 7 для цилиндра.
10. Повторите п. 8 для цилиндра, использовав формулы (9)–(11).
11. Все измеренные и рассчитанные значения занесите в таблицу:
12. Сформулируйте вывод.
1. Какой должна быть шкала нониуса на модели для измерения длины с точностью до 0,5 мм?
2. Можно ли изготовить нониус для измерений, абсолютная погрешность которых меньше 0,01? Почему?
Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Пономарёва А.В. Факультативный курс физики. 8 класс: Учеб. пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1985.
Руководство к лабораторным занятиям по физике: Под ред. Л.Л.Гольдина. – М.: Наука, 1973.
Физика: Учеб. пособие для 10 кл. шк. и классов с угл. изуч. физики: Под ред. А.А.Пинского. – М.: Просвещение, 1993.
Источник
ПОСТРОЙКА ПРИБОРОВ И МОДЕЛЕЙ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ЛИНЕЙКИ С НОНИУСОМ
Во многих случаях бывает необходимо точно измерить длину, но под рукой нет подходящего инструмента. Почему бы не сделать самому вполне годную для данной работы измерительную линейку: стоит только снабдить ее нониусом для отсчета десятых долей измеряемой величины.
Достаточно вычертить на хорошей бумаге саму линейку н нониус к ней и прикрепить их кнопками или мелкими гвоздиками к деревянной планке подходящей ширины и толщины.
Почему не наклеить,— ясно само собой: при смазывании клеем бумага расширится, при высыхании укоротится, и будут ли эти противоположные действия одинаковы по величине — сказать наперед нельзя. Поэтому приклеивать можно в тех случаях, когда точность не требуется.
Два слова о нониусе. Как известно, для этого берут линейку длиной в девять делений масштаба (рис. 79-1), делят ее на десять частей — эта отдельная линейка (рис. 79-2) и есть нониус. Как его пользоваться, подробно изложено в каждом учебнике физики; как измеряют, видно из рис. 79-3.
Но нам желательно получить более точный масштаб. Для этого следует взять стальную или латунную пластинку 350 мм длиной и 35 мм шириной при толщине 1 мм и другую в 110X25X1 мм и покрыть их со всех сторон тонким слоем воска, а с задней и боковых сторон еще и слоем асфальтового лака. Теперь сделаем шаблон для нанесения делений сначала на саму линейку. Он состоит из листка тонкого однородного картона (например, визитной карточки, иг — ральяой карты), в котором сделаны прорези, как ука-, зано на рис. 79-4. Прорези более длинные будут слу — > жить для разметки промежутков в 200 мм, следующие! по длине для 20 мм, а внутри будут идти через раз: [5]2, 4, 6, 8, затем 1, 3, 5, 7, 9, затем снова 2, 4, 6, 8, т. е. один сантиметр разделен на промежутки в 2 мм, второй на промежутки: один — 1 мм, второй в 2 мм и т. д. до последнего, который будет тоже в 1 мм. Это необходимо для прочности шаблона. В этих отрезках сантиметровая черта не прорезывается, ибо она слипн ком близка к первому миллиметру. ]
Когда шаблон готов, накладывают его краем на край стальной пластинки и острой иглой проводят па прорезям, сдирая в этих местах восковой слой с металла. Затем, переместив шаблон на один сантиметр влево, програвировывают недостающие миллиметровые линии снова по всей длине шаблона, так что каждый сантиметр окажется разделенным на десять частей. Проводят также и недостающие сантиметровые черты.
Подобным образом делают шаблон для ноииуса и подготавливают его, а затем гравируют.
После гравировки медь травят в растворе хлористого железа, а сталь в растворе азотной кислоты крепостью 1:10. Работу с азотной кислотой обязательно производить на открытом воздухе вследствие выделения вредных окислов азота.
Конечно, прежде чем приступить к травлению, необходимо убедиться, что гравировка сделана правильно, и в случае недостатков предварительно исправить их: в этой стадии работы это сделать очень легко. Во время травления также следует наблюдать, все ли черты травятся и нет ли где-нибудь металла, не покрытого воском или лаком.
Цифры гравируют после разметки по шаблону.
Такие линейки делают без концов, нанося первое деление, отступив 25 мм от края, и последнее — на расстоянии 25 мм от конца.
Если взять на нашей линейке от начала лишь 200 мм делений, укрепить упорку вначале и прикре*- пить к нониусу вторую, а сам нониус заставить двигаться в пазах, фиксируя его положение винтом, то получим штангенциркуль (рис. 79-5).
Источник
Модель нониуса
Модель нониуса. Для того чтобы познакомить учащихся с нониусом, применяемым для измерения длин, следует построить большую классную модель этого важного измерительного прибора.
Сначала сделаем дощечку А = 25см х 106 см в качестве основания прибора, затем из фанеры выпилим линейки D=10 см х 45 см, Е = 12 х 45 см, В= 12 см х 106 см, С= 11 см х 106 см, G = 3 см х 106 см, I = 2 см х 106 см. Линейки D и Е склеим вместе (рис.),
а остальные линейки Ву С, О и J наклеим на основание в таком порядке, как это показано на рисунке. Это соединение деталей нужно сделать таким образом, чтобы двойная линейка DE могла с лёгким трением передвигаться в пазу между линейкой GJ и ВС. Разумеется, это может быть только в том случае, если все детали тщательно отшлифованы.
Когда это сделано, на линейку В — масштаб — наносятся деления через 5 см, а линейка D — нониус — делится на 10 частей, т. е. каждое деление будет равно 4,5 см. Эти деления можно нанести на бумагу к затем наклеить на линейку или при помощи краски непосредственно нанести на линейку.
Для того чтобы нониус не выпадал из масштаба, следует с боков вклеить небольшие, 3 см х 12 см, планочки из фанеры (рис.).
Помимо большой демонстрационной модели, следует сделать небольшие модели нониусов для раздачи их на руки учащимся. Эти раздаточные модельки можно сделать по этой же системе, но деления масштаба взять по 1 см, а деления нониуса по 9 мм. Следовательно, при помощи такого нониуса можно будет делать отсчёты длин с точностью до 1 мм.
Источник